{"id":3435,"date":"2018-01-30T13:05:08","date_gmt":"2018-01-30T12:05:08","guid":{"rendered":"http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/?p=3435"},"modified":"2018-05-26T21:42:16","modified_gmt":"2018-05-26T20:42:16","slug":"jost-buergis-sinus-berechnung","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/2018\/01\/30\/jost-buergis-sinus-berechnung\/","title":{"rendered":"Jost B\u00fcrgis Sinus-Berechnung"},"content":{"rendered":"<h3>Jost B\u00fcrgi &#8211; das unbekannte Genie<\/h3>\n<p>Tycho Brahe und Johannes Kepler sind uns allen ein Begriff, aber den Jost\u00a0 B\u00fcrgi kennen die meisten von uns (noch) nicht. Der Toggenburger Uhrmacher und Mathematiker war seiner Zeit voraus und verdient meiner Meinung nach zu recht den Titel eines Genies. Man kann sich mit dem pr\u00e4chtig illustrierten Buch [1] ja selber ein Bild machen.<\/p>\n<p>Neben seinen Uhren und Messinstrumenten wurde er schon vor einiger Zeit als einer der Erfinder der Logarithmen erkannt. Meist werden diese John Napier zugeschrieben; das erw\u00e4hnte Buch geht ausf\u00fchrlich auf diese Geschichte ein.<\/p>\n<p>Ich m\u00f6chte mich dagegen mit seiner Berechnung von Tabellenwerken mit Sinuswerten besch\u00e4ftigen. Jost B\u00fcrgi hatte ein Rechenverfahren erfunden, das als &#8222;Kunstweg&#8220; anscheinend nur speziell eingeweihten Personen bekannt war. Erst im Jahr 2013 wurde ein Manuskript entdeckt, das die Methode erkl\u00e4rt [1], [3-6].<\/p>\n<h4><\/h4>\n<h4>Ein genialer Kunstweg<\/h4>\n<p>Das Verfahren berechnet iterativ eine Tabelle von Sinuswerten zu aequidistanten Werten, ausgehend von einer groben N\u00e4herung. Im Original ist ein Beispiel f\u00fcr eine Tabelle mit 10-Grad Schritten zu sehen. Es werden nur ganzzahlige Rechnungen durchgef\u00fchrt bis zum allerletzten Schritt der Division. Das Verfahren wird in einer speziellen Tabellenform schlangenf\u00f6rmig fortschreitend von rechts unten durchgef\u00fchrt.<\/p>\n<ul>\n<li>in Spalte 1 rechs wird eine grobe N\u00e4herung eingetragen: 0 bis 12. Dabei entspricht 12 dem Winkel 90 Grad.<\/li>\n<li>12 wird halbiert zu 6<\/li>\n<li>Zu 6 wird die 11 rechts oberhalb addiert und dies weitergef\u00fchrt, bis man oben bei der 0 anlangt: 6+11=17,17+10=27, 27+9=36&#8230;<\/li>\n<li>die Additionen werden gleichermassen von oben nach unten durchgef\u00fchrt (ohne Halbierung der obersten Zahl)<\/li>\n<li>die unterste Zahl 62 wird halbiert zu 31 und das Verfahren wiederholt.<\/li>\n<li>im letzten Schritt wird durch Division durch die gr\u00f6sste Zahl normiert, sodass sin(90\u00b0) = 1.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Im Mittelalter war es \u00fcblich, im Sexagesimalsystem zu rechnen (60er System). Deshalb steht in der Tabelle 0.57+4 = 1 1, dies ist dezimal 61.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" class=\" wp-image-3449 aligncenter\" src=\"http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2017\/12\/b\u00fcrgi-2.png\" alt=\"\" width=\"751\" height=\"563\" srcset=\"http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2017\/12\/b\u00fcrgi-2.png 634w, http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2017\/12\/b\u00fcrgi-2-300x225.png 300w, http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2017\/12\/b\u00fcrgi-2-230x172.png 230w, http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2017\/12\/b\u00fcrgi-2-350x262.png 350w, http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2017\/12\/b\u00fcrgi-2-480x360.png 480w\" sizes=\"(max-width: 751px) 100vw, 751px\" \/><\/p>\n<p>Die mathematische Erkl\u00e4rung der Konvergenz findet man in [4].<\/p>\n<p>Wie man darauf kommt, ist mirakul\u00f6s. Ein Erkl\u00e4rungsversuch:\u00a0Das Verfahren kehrt gewissermassen die Berechnungsmethode der zweiten Differenzen um (siehe [3,4]). Diese zweiten Differenzen kennt man aus den arithmetischen Reihen h\u00f6herer Ordnung, z. B. sind die zweiten Differenzen einer Polynomfunktion zweiten Grades konstant. Bei der Sinusfunktion sind diese ein konstantes (negatives) Vielfaches des Funktionswertes an derselben Stelle (die zweite Ableitung <img loading=\"lazy\" src=\"http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5efea39635ba4e26f05732dd6cc2c5a1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#115;&#105;&#110;&#39;&#39;&#40;&#120;&#41;&#32;&#61;&#32;&#45;&#115;&#105;&#110;&#40;&#120;&#41;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"143\" style=\"vertical-align: -4px;\"\/>). Jost B\u00fcrgi kannte diese Rechenverfahren sicher gut, da sie allgemein \u00fcblich in astronomischen Berechnungen waren.<\/p>\n<p>Allerdings meinen ein paar Stimmen [5], das seine gr\u00f6sste Sinus-Tabelle nicht nur alleine mit dieser Methode, sondern auch mit herk\u00f6mmlicher Interpolation verfeinert wurde. Das tut der ganzen Sache keinen Abbruch, da die Tabelle f\u00fcr alle Gradwerte von 1\u00b0 bis 90\u00b0 damit erstellt worden ist.<\/p>\n<h4>Von Hand<\/h4>\n<p>Das Verfahren von B\u00fcrgi ist das einzige, das ich auswendig im Kopf behalten kann. Es ist so einfach und dabei sehr genau mit wenig Rechenaufwand. Ein Nachteil ist nur, dass immer eine ganze Tabelle berechnet wird, keine einzelnen Werte.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" class=\"wp-image-3450 aligncenter\" src=\"http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2017\/12\/b\u00fcrgi-3.jpg\" alt=\"\" width=\"909\" height=\"700\" srcset=\"http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2017\/12\/b\u00fcrgi-3.jpg 1197w, http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2017\/12\/b\u00fcrgi-3-300x231.jpg 300w, http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2017\/12\/b\u00fcrgi-3-768x592.jpg 768w, http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2017\/12\/b\u00fcrgi-3-1024x790.jpg 1024w, http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2017\/12\/b\u00fcrgi-3-830x640.jpg 830w, http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2017\/12\/b\u00fcrgi-3-230x177.jpg 230w, http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2017\/12\/b\u00fcrgi-3-350x270.jpg 350w, http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2017\/12\/b\u00fcrgi-3-480x370.jpg 480w\" sizes=\"(max-width: 909px) 100vw, 909px\" \/><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<h4>Mit Excel<\/h4>\n<p>Die Berechnungen lassen sich mit kleinem Aufwand in Excel realisieren. Mit 5 Spalten erh\u00e4lt man schon ein Genauigkeit von 10^-7 oder besser.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" class=\"size-full wp-image-3436 aligncenter\" src=\"http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2017\/12\/b\u00fcrgi-1.png\" alt=\"\" width=\"1043\" height=\"363\" srcset=\"http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2017\/12\/b\u00fcrgi-1.png 1043w, http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2017\/12\/b\u00fcrgi-1-300x104.png 300w, http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2017\/12\/b\u00fcrgi-1-768x267.png 768w, http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2017\/12\/b\u00fcrgi-1-1024x356.png 1024w, http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2017\/12\/b\u00fcrgi-1-830x289.png 830w, http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2017\/12\/b\u00fcrgi-1-230x80.png 230w, http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2017\/12\/b\u00fcrgi-1-350x122.png 350w, http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2017\/12\/b\u00fcrgi-1-480x167.png 480w\" sizes=\"(max-width: 1043px) 100vw, 1043px\" \/><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<h4>Quellen zur Sinusberechnung<\/h4>\n<ol>\n<li>Fritz Staudacher:\u00a0Jost B\u00fcrgi, Kepler und der Kaiser.\u00a0Neue Z\u00fcrcher Zeitung NZZ Libro; Auflage: 3 (16. Dezember 2015), ISBN\u00a0978-3038101383.<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.nzz.ch\/wissenschaft\/astronomie\/ein-kunstweg-zur-berechnung-von-sinuswerten-1.18685618\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">NZZ Ein Kunstweg zur Berechnung von Sinuswerten<\/a><\/li>\n<li>J\u00fcrg Waldvogel, Vortrag Swiss Physical Society SPS, Annual Meeting 2016, 08\/23-25<\/li>\n<li>Menso Folkerts, Dieter Launert, Andreas Thom Jost B\u00fcrgi&#8217;s Method for Calculating Sines.\u00a0arXiv:1510.03180v2<\/li>\n<li>Peter Ullrich: The mathematics behind Jost B\u00fcrgi\u2019s method for calculating sine tables.\u00a0PAMM \u00b7 Proc. Appl. Math. Mech. 16, 891 \u2013 892 (2016),\u00a0<a href=\"http:\/\/onlinelibrary.wiley.com\/doi\/10.1002\/pamm.201610434\/pdf\">http:\/\/onlinelibrary.wiley.com\/doi\/10.1002\/pamm.201610434\/pdf<\/a><\/li>\n<li>Gr\u00e9goire Nicollier:\u00a0How Jost B\u00fcrgi Computed the Sines of All Integer Angles in 1586,\u00a0<a href=\"https:\/\/www.cut-the-knot.org\/blue\/JostBurgi.shtml\">https:\/\/www.cut-the-knot.org\/blue\/JostBurgi.shtml<\/a><\/li>\n<\/ol>\n<h4>Weitere Quellen zur Logarithmusberechnung<\/h4>\n<ol>\n<li>Ein <a href=\"http:\/\/www.sternenwind.ch\/mathproj\/lehrstuecke\/Lehrstueckprotokoll-Buergi-2009.pdf\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Gymi-Lehrst\u00fcck<\/a><\/li>\n<li>weiteres <a href=\"https:\/\/www.swisseduc.ch\/mathematik\/algebra\/logarithmen\/index.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">didaktisches Material<\/a><\/li>\n<\/ol>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Jost B\u00fcrgi &#8211; das unbekannte Genie Tycho Brahe und Johannes Kepler sind uns allen ein Begriff, aber den Jost\u00a0 B\u00fcrgi kennen die meisten von uns (noch) nicht. 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