{"id":4083,"date":"2025-06-14T16:55:43","date_gmt":"2025-06-14T15:55:43","guid":{"rendered":"http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/?p=4083"},"modified":"2025-06-01T17:49:08","modified_gmt":"2025-06-01T16:49:08","slug":"viele-einsteine","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/2025\/06\/14\/viele-einsteine\/","title":{"rendered":"Viele Einsteine"},"content":{"rendered":"<h4>Steine backen<\/h4>\n<p>Nach vielen Stunden Arbeit ist mein neuer 3D Drucker fertig zusammengebaut. Als eines der ersten Druckobjekte habe ich einen Sack voller &#8222;Einsteine&#8220; gedruckt, gerade ein ganzes Kuchenblech:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-4084\" src=\"http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/ein-1.jpg\" alt=\"\" width=\"600\" height=\"627\" srcset=\"http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/ein-1.jpg 1512w, http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/ein-1-287x300.jpg 287w, http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/ein-1-981x1024.jpg 981w, http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/ein-1-768x802.jpg 768w, http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/ein-1-1471x1536.jpg 1471w, http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/ein-1-830x867.jpg 830w, http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/ein-1-230x240.jpg 230w, http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/ein-1-350x366.jpg 350w, http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/ein-1-480x501.jpg 480w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/p>\n<p>Das sind Kacheln, die die Ebene l\u00fcckenlos pflastern, wobei sich das Muster nie periodisch wiederholt (also nicht wie normale Bodenkacheln). Diese Kacheln in Hut- oder T-Shirt-Form heissen &#8222;Einsteine&#8220;, weil es zur Plasterung nur 1 Typ Steine braucht (ok, auch noch die umgedrehte Version). Diese Form wurde 2022 von einem Hobby-Mathematiker gefunden.<\/p>\n<h4>Zur Geschichte dieser Form<\/h4>\n<p>Die meisten (oder alle) uns gel\u00e4ufigen Parkettierungen sind periodisch. Man kann also eine verschobene Kopie des Musters exakt auf sich selber legen. Bei nicht-periodischen geht das nicht.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" class=\"size-full wp-image-4100 aligncenter\" src=\"http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/periodisch.jpg\" alt=\"\" width=\"320\" height=\"320\" srcset=\"http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/periodisch.jpg 320w, http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/periodisch-300x300.jpg 300w, http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/periodisch-150x150.jpg 150w, http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/periodisch-230x230.jpg 230w\" sizes=\"(max-width: 320px) 100vw, 320px\" \/><\/p>\n<p>Die Einsteinkachel steht am Ende der Frage: Wie viele Kacheltypen braucht man mindestens, damit zwingend eine nichtperiodische Parkettierung entstehen muss? Im Verlaufe der Zeit kam man von 20426 (1966) bis zu 2 Kacheln herunter (Penrose 1974). Dies ist die Penrose-Kachelung:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" class=\"size-full wp-image-4096 aligncenter\" src=\"http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/penrose.png\" alt=\"\" width=\"312\" height=\"319\" srcset=\"http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/penrose.png 312w, http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/penrose-293x300.png 293w, http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/penrose-230x235.png 230w\" sizes=\"(max-width: 312px) 100vw, 312px\" \/><\/p>\n<h4>Muster mit Einsteinen<\/h4>\n<p>Mit den Steinen (in mehreren Farben) lassen sich auch viele interessante Muster legen. Der Stein ist erstaunlich &#8222;anlegefreudig&#8220;&#8230;<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-4085\" src=\"http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/ein-2.jpg\" alt=\"\" width=\"600\" height=\"450\" srcset=\"http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/ein-2.jpg 2016w, http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/ein-2-300x225.jpg 300w, http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/ein-2-1024x768.jpg 1024w, http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/ein-2-768x576.jpg 768w, http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/ein-2-1536x1152.jpg 1536w, http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/ein-2-830x623.jpg 830w, http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/ein-2-230x173.jpg 230w, http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/ein-2-350x263.jpg 350w, http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/ein-2-480x360.jpg 480w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/p>\n<h4>Nichtperiodisches Belegen der Ebene<\/h4>\n<p>Das\u00a0 ist ziemlich schwierig, da sich das Muster nie wiederholt. Man kann also nie ein St\u00fcck nach einem gleichbleibenden Muster hinlegen. Konkret heisst das: man beginnt und landet irgendwann in einer Sackgasse, wo man nicht weiterkommt und Steine wegnehmen muss. Nur: welche sind denn falsch?! Es ist nicht klar, welche man wegnehmen muss.<\/p>\n<p>Aber es gibt ein Verfahren: aus einfacherer Kacheln lassen sich immer gr\u00f6ssere, im Prizip \u00e4hnliche (aber nicht ganz identisch geformte) &#8222;Superkacheln&#8220; legen. Aus diesen macht man noch gr\u00f6ssere Superkacheln usw.\u00a0 Es gibt 4 Typen (linke Seite des Blattes):<\/p>\n<ul>\n<li>Der 1. Typ (links oben) besteht aus 1 Einstein-Kachel\u00a0 (2. Dreiecksrahmen links; bei mir rot), die von 3 Steinen (orange bei mir) so umgeben wird, dass man eine 6-eckige Form hat.<\/li>\n<li>Aus je 2 Steinen macht man den 3. resp. 4 Typ.<\/li>\n<li>Nimmt man 3 Typ 1-Superkacheln um einen zentalen Einstein (bei mir gr\u00fcn) und erg\u00e4nzt sie mit je 3 l\u00e4nglichen Typ 3\/4-Superkacheln (links unten, bei mir rot und gr\u00fcn) so entsteht die &#8222;Supersuperkachel&#8220; rechts oben mit schon 25 Steinen.<\/li>\n<li>Dieser wird dann \u00e4hnlich vergr\u00f6ssert (mach schaue die Figur rechts unten auf dem Blatt an)<\/li>\n<\/ul>\n<p>Prinzipiell kann man so weitermachen. Aber ganz stupid regelm\u00e4ssig wird es eben nie (es gibt Regeln, was man wo anlegen muss) &#8211; was die Schwierigkeit des Puzzles eben ausmacht.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" class=\"alignnone size-full wp-image-4086\" src=\"http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/ein-3-scaled.jpg\" alt=\"\" width=\"2030\" height=\"2560\" srcset=\"http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/ein-3-scaled.jpg 2030w, http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/ein-3-238x300.jpg 238w, http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/ein-3-812x1024.jpg 812w, http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/ein-3-768x969.jpg 768w, http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/ein-3-1218x1536.jpg 1218w, http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/ein-3-1624x2048.jpg 1624w, http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/ein-3-830x1047.jpg 830w, http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/ein-3-230x290.jpg 230w, http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/ein-3-350x441.jpg 350w, http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/ein-3-480x605.jpg 480w\" sizes=\"(max-width: 2030px) 100vw, 2030px\" \/><\/p>\n<h4><strong>Zum Lesen<\/strong><\/h4>\n<ul>\n<li><a href=\"https:\/\/www.vismath.eu\/de\/blog\/parkettierungen-der-ebene\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">https:\/\/www.vismath.eu\/de\/blog\/parkettierungen-der-ebene\/<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.spektrum.de\/news\/hobby-mathematiker-findet-lang-ersehnte-einstein-kachel\/2124963\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">https:\/\/www.spektrum.de\/news\/hobby-mathematiker-findet-lang-ersehnte-einstein-kachel\/2124963<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.spektrum.de\/news\/parkettierung-mathematiker-feiern-hatfest-fuer-einstein-kachel\/2168346\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">https:\/\/www.spektrum.de\/news\/parkettierung-mathematiker-feiern-hatfest-fuer-einstein-kachel\/2168346<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Steine backen Nach vielen Stunden Arbeit ist mein neuer 3D Drucker fertig zusammengebaut. 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