{"id":853,"date":"2009-11-18T20:56:00","date_gmt":"2009-11-18T20:56:00","guid":{"rendered":"http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/?p=853"},"modified":"2009-11-18T20:56:00","modified_gmt":"2009-11-18T20:56:00","slug":"losung-des-quiz-qua-2006-4","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/2009\/11\/18\/losung-des-quiz-qua-2006-4\/","title":{"rendered":"L\u00f6sung Quiz QUA 2006 \/ 4"},"content":{"rendered":"<p>Beim Quiz im letzten QUA handelt es sich um eine alte Frage, die 1958 in einer Kolumne der Zeitschrift Scientific American vom R\u00e4tsel-Guru Martin Gardner gestellt worden ist und seither f\u00fcr viel beschriebenes Papier und Kopfweh bei Studenten gesorgt hat. Das Problem l\u00e4sst sich mit der richtigen Idee sofort l\u00f6sen und als nettes Problemchen beiseite legen. Im Hintergrund gibt es jedoch interessante Querverbindungen zu Mathematik\/Statistik und Physik, die in diesem Artikel nur erw\u00e4hnt werden k\u00f6nnen.<\/p>\n<p>Wir l\u00f6sen den Fall des W\u00fcrfels, wenn an diagonal gegen\u00fcberliegenden Ecken eine Spannung angelegt (oder der Widerstand gemessen) wird. Die entscheidende Erkenntnis ist die, dass die 3 benachbarten Ecken aus Symmetriegr\u00fcnden auf dem gleichen elektrischen Potential liegen und deshalb zusammengel\u00f6tet werden k\u00f6nnen. Man kann die Gitter auch flachgedr\u00fcckt so zeichnen, dass die y-Koordinate das elektrische Potential angibt. Als Beispiel der W\u00fcrfel mit 5 Volt:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" class=\"size-full wp-image-844 alignnone\" src=\"http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/image_thumb-5.png\" alt=\"image_thumb.png\" width=\"343\" height=\"302\" srcset=\"http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/image_thumb-5.png 343w, http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/image_thumb-5-300x264.png 300w\" sizes=\"(max-width: 343px) 100vw, 343px\" \/><\/p>\n<p>Man bekommt eine Reihenschaltung von 1\/3 + 1\/6 + 1\/3 = <b>5\/6 Ohm<\/b>. Bei den zwei weiteren Abgreifm\u00f6glichkeiten (\u201cn\u00e4chste\u201d Ecken d.h. direkt benachbart, oder auf einer Seitenfl\u00e4che diagonal gegen\u00fcber) ergeben sich <b>7\/12 Ohm<\/b> und <b>3\/4 Ohm<\/b>. Das Dodekaeder und andere r\u00e4umliche Widerstandsgitter lassen sich genau gleich l\u00f6sen:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" class=\"size-full wp-image-846 alignnone\" src=\"http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/image_thumb-6.png\" alt=\"image_thumb.png\" width=\"399\" height=\"131\" srcset=\"http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/image_thumb-6.png 399w, http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/image_thumb-6-300x98.png 300w\" sizes=\"(max-width: 399px) 100vw, 399px\" \/><\/p>\n<p>Als weiteres Beispiel der Dodekaeder mit der Spannung an diagonal gegen\u00fcberliegenden Ecken:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" class=\"size-full wp-image-847 alignnone\" src=\"http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/image-5.png\" alt=\"image.png\" width=\"381\" height=\"423\" srcset=\"http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/image-5.png 381w, http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/image-5-270x300.png 270w\" sizes=\"(max-width: 381px) 100vw, 381px\" \/><\/p>\n<p>Der Widerstand ist 38\/60. Die Br\u00fcche in der Tabelle sind so gew\u00e4hlt, dass alle Spannungen (hier 38V) und Str\u00f6me (hier 60A) auf allen Leitungen ganzzahlig sind.<\/p>\n<p>In einem Artikel in Spektrum der Wissenschaft 2006\/8 wurde eine alte Querverbindung zur Mathematik wieder aufgezeigt: man nehme ein Quadrat aus d\u00fcnnem Blech, l\u00f6te an an zwei gegen\u00fcberliegenden Kanten dicke (ideal leitende) Dr\u00e4hte an. Der Widerstand ist dann unabh\u00e4ngig von der Gr\u00f6sse des Quadrates, da er proportional zum Abstand und umgekehrt proportional zur L\u00e4nge der Dr\u00e4hte (=Breite) ist! Der Widerstand sei 1 Ohm. Wir nehmen so ein Rechteck und legen oben und unten eine Spannung an. Dann ist das Potential proportional zur H\u00f6he (y-Koordinate). Ohne dass sich daran etwas \u00e4ndert, kann man vertikale Schlitze ins Blech schneiden oder horizontale Drahtst\u00fccke aufl\u00f6ten. Auch kann man rechteckige St\u00fccke durch einen entsprechenden gew\u00f6hnlichen Widerstand ersetzen. So entspricht eine Zerlegung des Blechrechtecks einem Widerstandsnetzwerk aus gew\u00f6hnlichen Widerst\u00e4nden! Als Beispiel der W\u00fcrfel (rot=Dr\u00e4hte, weiss=Schlitze im Blech):<a href=\"http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/image-6.png\"><br \/>\n<\/a><\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" class=\"size-full wp-image-850 alignnone\" src=\"http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/image_thumb-8.png\" alt=\"image_thumb.png\" width=\"382\" height=\"325\" srcset=\"http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/image_thumb-8.png 382w, http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/image_thumb-8-300x255.png 300w\" sizes=\"(max-width: 382px) 100vw, 382px\" \/><\/p>\n<p>\u00dcber die Zerlegungsm\u00f6glichkeiten eines Rechtecks in kleinere Quadrate ist \u00fcbrigens auch heute noch nicht alles bekannt!<\/p>\n<p>Man wird sicher zustimmen, dass die Bestimmung des Widerstandes von solchen komplizierten r\u00e4umlichen Widerstandsnetzwerken prinzipiell zwar mit den Kirchhoff&#8217;schen Regeln m\u00f6glich ist, aber praktisch nur Cleverness oder ein Computer zum Ziel f\u00fchrt. Auch f\u00fcr Computerprogramme brauchts ziemlich viel Lineare Algebra und Numerik. Schwierig wird es sp\u00e4testens bei Gebilden, die nicht mehr aus diskreten Widerst\u00e4nden aufgebaut sind, z.B. aus Blech. Solche Probleme sind nur mit h\u00f6heren Methoden l\u00f6sbar (harmonische Analyse, Potentialtheorie). Die \u00fcblichen Kirchhoff&#8217;schen Gesetze sind nur sehr einfache Spezialf\u00e4lle davon.<\/p>\n<p>Referenzen:<br \/>\nSpektrum der Wissenschaft, August 2006 (<a href=\"http:\/\/www.spektrum.de\/artikel\/848575\">http:\/\/www.spektrum.de\/artikel\/848575<\/a>).<br \/>\nF. Y. Wu, Theory of resistor networks: the two-point resistance, J. Phys. A: Math. Gen. 37 (2004) 6653\u20136673.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<h4>Neues Quiz<\/h4>\n<p><b>Frage 1)<\/b> Der Lehrling von Elektriker R. \u00d6hrli hat gebastelt \u2013 seine Schaltung besteht aus einer Batterie, drei gleichen Gl\u00fchlampen, einem Umschalter (Wechselschalter) und Kabeln. Es brennen alle Lampen. Der Schalter wird umgeschaltet. Wieder leuchten alle Lampen, diesmal alle mit einer anderen Leuchtst\u00e4rke als vorher. Wie sieht die Schaltung aus?<\/p>\n<p><b><img loading=\"lazy\" class=\"alignleft size-full wp-image-851\" src=\"http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/wp-content\/uploads\/2016\/05\/image-7.png\" alt=\"image.png\" width=\"232\" height=\"174\" \/>Frage 2)<\/b> An dieser Schaltung liegt eine Wechselspannung:<\/p>\n<p>Welche Lampe\/n leuchtet\/leuchten, wenn nur Schalter S1 geschlossen wird? Und wenn nur S2 geschlossen wird? Und wenn beide zu sind?<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Beim Quiz im letzten QUA handelt es sich um eine alte Frage, die 1958 in einer Kolumne der Zeitschrift Scientific American vom R\u00e4tsel-Guru Martin Gardner gestellt worden ist und seither f\u00fcr viel beschriebenes Papier und Kopfweh bei Studenten gesorgt hat. 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