Aufgabe 1: durch Probieren findet man die Lösung. Die mathematische Lösung geht so: wir können ein lineares Gleichungsystem aufstellen und lösen. Dazu numerieren wie die Schalter von 1 bis 5 und schreiben sie als Vektor auf, also P1= (1,0,0,0,0). Wir können für jede Lampe den Zustand feststellen, indem wir die Effekt der Schalter „zusammenzählen“, denn die Reihenfolge spielt keine Rolle. Wir führen die Rechenregel ein, dass 1+1=0, also modulo 2.

Beispiel: Schalter P1 und P2 gedrückt: (1,1,0,1,1) + (1,1,1,0,0) = (2,2,1,1,1) = (0,0,1,1,1). Lampen 3,4 und 5 brennen also. Das kann man mit einer Matrix schreiben Ax=b, wobei b=(1,1,1,1,1), x gesucht und A gerade die Matrix

ist. Man erkennt in den Zeilen unsere Vektoren. Als Lösung erhalten wir rel. schnell x=(1,0,0,1,-1)=(1,0,0,1,1). D.h. Schalter P1, P4 und P5 sind zu betätigen.

Die Matrix A ist die sog. Adjazenzmatrix des Graphen (Zeichnung). Man kann sie gerade aufschreiben, wenn man die Zeichnung erstellt hat: 1 in Zeile i und Spalte j = Leitung von Schalter i zur Lampe j. Unabhängig von dieser Rechnerei überlegt man sich auch: Das Ganze läuft im Endergebnis darauf hinaus, ob ich die Zahlen 0 und 1 so in die Matrix setzen kann, dass jedes Feld eine ungerade Zahl von 1 als Nachbarn hat.

Aufgabe 2: Man kann diese Aufgabe mit der gleichen Methode wie die erste lösen. Von Hand wird das etwas mühsam, da 9 Unbekannte beteiligt sind. Mit Linearer Algebra stellt man fest, dass keine Lösung existiert: die Matrix hat Rang 8, das lineare Gleichungssystem hat also entweder keine oder unendlich viele Lösungen mit einem frei wählbaren Parameter. Die verlangte Lösung als Vektor (1,1,1,1,1,1,1,1,1) geschrieben ist salopp gesagt, gerade die fehlende 9. Richtung.

Viel eleganter löst man dies mit einem Symmetrieargument: um das Mittelfeld einzuschalten, muss es von einer ungeraden Anzahl Tasten „betroffen“ werden. Die Mitteltaste ändert nichts, also ist es entweder eine ungerade Anzahl der 4 Ecktasten 1,3,7,9 oder der 4 Seitentasten 2,4,6,8 (ungerade = gerade + ungerade oder umgekehrt). Mit einer ungeraden Zahl von Tastendrucken auf z.B. die Ecktasten breche ich die 4er Symmetrie (das Brett um 90° Grad drehen ändert ja nichts).

Übrigens kann man auch gewisse log. Detektiv-Rätsel manchmal so lösen, die Leitungen sind dann log. Zusammenhänge zwischen Aussagen.

Neue Quizfrage

Wir haben 2 faire, also nicht gezinkte Würfel. Wie müssen wir die Seitenflächen beschriften, damit für die Summe der Augen die Zahlen von eins bis neun mit der jeweils gleichen Wahrscheinlickeit vorkommen? Bei 2 normalen Würfeln kommt zum Beispiel die Zahl 2 (= 1+1) weniger häufig vor als 7 (7 = 1+6 = 2+5 = 3+4= 4+3 = 5+2 = 6+1).

Die Augenzahlen sollen nicht negativ sein und die Summe immer zwischen 1 und 9 liegen.